glossario

Una definizione rigorosa di asintoto presume conoscenze matematiche che vanno oltre gli scopi del presente lavoro. La definizione data risulta quindi di una definizione intuitiva:

Si dice che una retta è una asintoto di una curva se è una sua tangente all'infinito. Data cioè una curva con un ramo che va all'infinito i punti della curva si avvicinano sempre di più alla retta in modo che la loro distanza PQ sia minore di un qualunque numero fissato.

L'unica conica con un asintoto è l'iperbole: in questo caso l'asintoto può essere definito anche come l'elemento di separazione tra le rette passanti per il centro dell'iperbole e secanti la curva e quelle esterne.

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Asse di un segmento

Si dice asse di un segmento AB la perpendicolare alla retta per A, B e passante per il punto medio del segmento stesso.

Come luogo geometrico l'asse del segmento può essere definito come il luogo dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento AB.
Questa proprietà ci permette di calcolare semplicemente l'equazione del luogo. Detti A(x_a, y_a), B(x_b,y_b) le coordinate degli estremi del segmento e P(x,y) un punto qualunque dell'asse sarà PA=PB per la definizione data, per cui

ed elevando al quadrato entrambi i membri

La proprietà ci permette anche una semplice costruzione dell'asse con riga e compasso: si tracciano con la stessa apertura del compasso due circonferenze con centro in A e B. La retta che unisce i loro due punti di intersezione è l'asse di AB
	Carica la costruzione con Cabri

Bisettrice: semiretta che esce dal vertice di un angolo e lo divide in due parti uguali.

La bisettrice è il luogo dei punti del piano equidistanti dai lati dell'angolo.

Per costruire la bisettrice si può procedere come nella proposizione n. 9 di Euclide: si prende un punto qualunque B su uno dei lati dell'angolo si traccia la circonferenza di centro il vertice dell'angolo A e passante per B, sia C il punto di intersezione con l'altra semiretta. Si costruisce poi un triangolo equilatero sul segmento BC. Il terzo vertice del triangolo equilatero definisce con A la bisettrice dell'angolo dato.

Carica la costruzione con Cabri

Caustica: Quando la luce riflette su una curva, allora l'inviluppo dei raggi riflessi si chiama caustica per riflessione o catacaustica. Quando la luce è rifratta da una curva, allora l'inviluppo dei raggi rifratti è una caustica per rifrazione o diacaustica.

Per vedere alcune immagini od avere maggiori informazioni sull'argomento consultatre in rete la pagina (in inglese) http://www.best.com/~xah/SpecialPlaneCurves_dir/Caustics_dir/caustics.html

Cono: Si dice cono rotondo indefinito la superficie che si ottiene facendo ruotare una retta r, detta generatrice, attorno ad un'altra retta a, detta asse del cono, incidente con r in un punto V, detto vertice del cono, e non perpendicolare alla retta r.
L'ampiezza dell'angolo formato dalle due rette viene detta apertura del cono.

Direttrice: Data una conica C e detto F il suo fuoco si chiama direttrice la retta d tale che, preso un qualunque punto su C, sia costante il rapporto tra la sua distanza dal fuoco e quella con la direttrice.

Eccentricità: In una qualunque conica viene detta eccentricità il rapporto costante tra la distanza di un punto della conica dal fuoco e la distanza dello stesso punto dalla direttrice. Per l'ellisse la definizione può essere espressa mediante i due semiassi a (semiasse maggiore) e b (semiasse minore) tramite le seguente formula

Normalmente è epsressa dalla formula dove a rappresenta il semiasse maggiore e c rappresenta la distanza focale. La seguente tabella definisce le coniche in base alla loro eccentricità e.

e	Curve
e=0	Circonferenza
0<e<1	Ellisse	Carica la costruzione con Cabri
e = 1	Parabola	Carica la costruzione con Cabri
e > 1	Iperbole	Carica la costruzione con Cabri

Evoluta: E' l'inviluppo delle normali alla curva data. Può essere anche pensata come il luogo dei centri di curvatura. L'idea di tale curva compare inizialmente nel Libro V delle Coniche di Apollonio.

Per vedere alcune immagini od avere maggiori informazioni sull'argomento consultatre in rete la pagina (in inglese) http://www.best.com/~xah/SpecialPlaneCurves_dir/Caustics_dir/caustics.html

Fuoco: data una qualunque conica C si dice fuoco un punto F del piano tale che preso un qualunque punto su C sia costante il rapporto tra la sua distanza dal fuoco e quella con la direttrice. L'ellisse e l'iperbole hanno due fuochi, che coincidono nel caso della circonferenza. La parabola ha un solo fuoco. Sebbene fossero già noti ad Apollonio, e le sue proprietà siano state utilizzate da Archimede con gli specchi ustori, il nome sembra sia stato dato da Keplero in conseguenza delle sue proprietà fisiche.

Inversa: Data una circonferenza di centro O e raggio r, due punti P e Q sono inversi rispetto alla circonferenza C se OP*OQ = r². Se P descrive una curva C allora Q descrive una curva C' chiamata l'inversa di C rispetto alla circonferenza data.
L'inversione è una trasformazione geometrica e dalla definizione data si deduce immediatamente
1)Q è inverso di P se e solo se P è inverso di Q.
2)I punti interni alla circonferenza vengono trasformati in punti esterni e viceversa. I punti sulla circonferenza sono punti uniti.
All'allonatnarsi di P da O, la sua immagine Q si avvicina ad O.

Carica inversa di una retta Cabri

Carica inversa di una parabola con Cabri

Per vedere alcune trasformazioni od avere maggiori informazioni sull'argomento consultatre in rete la pagina (in inglese) http://www.best.com/~xah/SpecialPlaneCurves_dir/Inversion_dir/inversion.html

Inviluppo: L'inviluppo può essere pensato come un modo di derivare una nuova curva basata su una famiglia di curve dipendenti da un parametro. L'inviluppo di una famiglia di curve è una curva C tale che C è tangente a ciascun elemento della famiglia. (Ricorda che due curva sono tangenti l'una con l'altra in un punto se in quel punto hanno una tangente comune.)

Nella figura a lato la parabola y=4/3x² ottenuta come inviluppo della parabola di equazione y=x²+ax+a²
Osserva inoltre le due figure sotto se hai dubbi sulla definizione data.

ellisse come inviluppo delle sue tangenti

parabola come inviluppo delle sue tangenti

Involuta: Se C è una curva e C' è la sua evoluta, C è chiamata la involuta di C'. Ogni curva parallela a C è anch'essa una involuta di C'. Quindi una curva ha una unica evoluta, ma infinite involute. Viceversa una involuta può essere pensata come curva ortogonale a tutte le tangenti alla curva data.

Per vedere alcune immagini od avere maggiori informazioni sull'argomento consultatre in rete la pagina (in inglese) http://www.best.com/~xah/SpecialPlaneCurves_dir/Involute_dir/involute.html

Luogo geometrico: insieme di tutti e soli i punti del piano che soddisfano una data proprietà.

Se nel piano è definito un riferimento cartesiano la proprietà che descrive il luogo geometrico può di solito essere espressa attraverso una o più equazioni ed il luogo geometrico risulta essere l'insieme di tutti e soli i punti P(x,y) le cui coordinate soddisfano date equazioni del tipo f(x,y)=0, altrimenti la proprietà deve essere necessariamente espressa definendo geometricamente le caratteristiche dei punti del luogo.
Possono essere definiti come luoghi geometrici la retta, l'asse di un segmento, la bisettrice di un algolo, la circonferenza (vedi sotto), tutte le coniche, ecc.

Esempio di Luogo geometrico: la circonferenza.
Definizione come luogo geometrico:
luogo dei punti equidistanti da un punto fisso detto centro.

E' possibile esprimere la proprietà geometrica attraverso una equazione nel seguente modo: scelto opportunamente un sistema cartesiano cartesiano, sia O il punto fissato. Detto P(x,y) un qualunque punto del piano, il punto appartiene al luogo se e solo se è
e si trova la nota equazione canonica della circonferenza

Normale

Retta normale: retta perpendicolare

Normale ad una curva: perpendicolare alla tangente nel punto di tangenza

Parabola:luogo geometrico dei punti del piano che hanno la stessa distanza da un punto detto fuoco e da una retta detta direttrice

Pedale: Data una curva C, la curva pedale di C rispetto ad un punto fissato O (chiamato punto pedale) è il luogo dei punti P di intersezione delle perpendicolari da O alle tangenti a C.

Pedale negativa: Data una curva C e un punto fissato O, per un punto P su C si tracci una linea perpendicolare a OP. Lo sviluppo di tali linee al variare di P sulla curva C è la pedale negativa di C. L'ellisse è la pedale negativa di un cerchio se il punto fisso è interno al cerchio, mentre se il punto è esterno è l'iperbole.

Per vedere alcune immagini od avere maggiori informazioni sull'argomento consultatre in rete la pagina (in inglese) http://www.best.com/~xah/SpecialPlaneCurves_dir/Pedal_dir/pedal.html

Proporzionalità diretta ed inversa

Proporzionalità diretta: Se due clasi di grandezze A, B sono in corrispondenza biunivoca, ed x, y sono le variabili numeriche che esprimono le rispettive misure rispetto ad unità prese in A, B, allora A, B si dicono direttamente proporzionali se esiste una costante k non nulla tale che per ogni x relativo ad A si abbia y=kx dove y rappresenta la misura del corrispondente elemento di B.
Graficamente tale relazione è rappresentata da una retta passante per l'origine

Proporzionalità inversa: Nelle stesse ipotesi precedenti, due clasi di grandezze A, B si dicono inversamente proporzionali se esiste un costante k non nulla tale che per ogni x relativo ad A esiste un valore di y relativo a B tale che si abbia xy=k.
Graficamente tale relazione è rappresentata da una iperbole riferita ai suoi asintoti

Retta tangente ad una curva: si dice che una retta è tangente ad una conica C se la retta e la conica hanno in comune due punti coincidenti.

Teoremi di Euclide:
primo teorema: in un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa
secondo teorema: in un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale tra le proiezione dei due cateti sull'ipotenusa

Teorema di Talete: Due rette trasversali determinano su di un fascio di rette parallele due classi di segmenti proporzionali.

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