Parabola
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Due pedali
negative della parabola {t,1/4 t^2}
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La storia
Vedere anche Storia nella pagina delle Sezioni coniche.
Descrizione
La parabola appartiene alle sezioni coniche, come l' iperbole e l'ellisse. La parabola può essere pensata come un caso limite tra l'ellisse e l'iperbole. Nota che la parabola non è una famiglia di curve. L'impressione che alcune parabole siano più incurvate è dovuta al fatto che guardiamo alla curva in differenti scale. Allo stesso modo, una parte di una circonferenza ampia che sembra essere una linea può indurci a concludere che ci sono circonferenze di diversa forma.
Come per l'ellisse e l'iperbole, ci sono diversi modi di definire la parabola. Una
definizione comune la definisce come il luogo dei punti P per i quali la distanza da una
linea (detta direttrice) da P è uguale alla distanza dallo stesso punto P da
un punto fisso F (detto fuoco). La parabola ha eccentricità e=1. (vedere le sezioni coniche).
L'asse di una parabola è una retta perpendicolare alla sua direttrice passante per il
fuoco. Il vertice della parabola è dato dall'intersezione della parabola con il suo asse.
Formule
- Parametrica: {t, 1/4 t^2}, -Infinito < t < Infinito
- Cartesiana: y == 1/4 x^2.
In questi casi, il vertice ha coordinate {0,0}, il fuoco {0,1}.
Proprietà
Invariante sotto certe Dilatazioni
La parabola posside la proprietà che modificandone la scala (streching/shrinking) lungo una direzione parallela o perpendicolare al suo asse, la curva rimane invariata. (Per esempio, anche la retta possiede questa proprietà, mentre non la possiede la circonferenza. Una retta dilatata è ancora una retta, mentre non lo rimane una circonferenza. Quando una parabola viene dilatata lungo la direttrice di a unità e lungo l'asse di b unità, la curva che ne risulta è ancora la parabola originale con scala in entrambe la direzioni di a^2/b.
Data una parametrizzazione della parabola {xf[t], yf[t]} con vertice nell'origine e fuoco lungo l'asse y, il suom fuoco è {0, xf[t]^2/(4 yf[t]) }.
Proprietà Ottiche
Un raggio che parte dal fuoco sarà riflesso o rifratto dalla parabola in
rette parallele.
La figura mostra tre parabole, due delle quali hanno lo stesso fuoco.
Parabola con
sorgente luminosa mobile
Tangenti alla Parabola
Ogni collocazione di tangenti sulla parabola intersecherà ogni altra tangente nella stessa proporzione. Così l' inviluppo delle rette con una somma positiva e costante degli intercetti è un segmento di parabola.
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Evoluta e Parabola Semicubica
L' evoluta di una parabola è la parabola semicubica, formata dalle normali nella figura.
Pedal
La pedale di una parabola
rispetto al suo fuoco è una linea; la pedale rispetto al suo vertice è la cissoide
di Diocle.
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Inversion
L' inversa di una parabola
rispetto al suo fuoco è una cardioide;
l'inversa rispetto al suo vertice è la cissoide
di Diocle.
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Related Web Sites
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Last modified: 1998/05/22. © copyright 1995-97 by Xah Lee. (xah@best.com) http://www.best.com/%7Exah/SpecialPlaneCurves_dir/specialPlaneCurves.html Traduzione a cura degli studenti della terza I itg Rondani-Parma