Hyperbola

Famiglia di iperboli con eccentricità
{4., 2.81, 2.17, 1.76, 1.49, 1.28, 1.13, 1.01}
in ordine dalla più chiara alla scura.
Le iperboli a sinistra hanno gli stessi vertici, quelle a destra i fuochi.

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Storia

vedere   Storia nella pagina delle Sezioni Coniche.

Descrizione

L'iperbole descrive una famiglia di curve. Insieme all'ellisse e alla parabola, costituiscono le sezioni coniche.

L'iperbole è comunemente definita come il luogo dei punti P tali che la differenza delle distanze di P da due punti fissi F1, F2 (detti fuochi) sono costanti. Cioè, | distanza[P,F1] - distanza[P,F2] | == 2 a, dove a rappresenta una costante.

L'eccentricità è un numero che descrive curvatura dell'iperbole. Supponiamo che la distanza tra i due fuochi sia 2 c, allora l'eccentricità e è definita da e := c/a. 1 < e. Più grande è l'eccentricità, più l'iperbole somiglia a due linee parallele. All'avvicinarsi di  e ad 1, l'iperbole diventa più appuntita in prossimità del fuoco.

La linea passante per i fuochi è l'asse dell'iperbole. La linea passante per il centro e perpendicolare all'asse è detto asse trasverso. I vertici sono l'intersezione dell'iperbole con il suoo asse.

L'iperbole equilatera è quell con eccentricità Sqrt[2]. I suoi asintoti sono reciprocamente perpendicolari. Una semplice equazione Cartesiana per l'iperbole equilatera è  x y == 1.

L'iperbole equilatera ha la proprietà quando dilatata lungo uno od entrambi i suoi asintoti, la curva rimane la stessa. Questo perchè, la curva {t, 1/t n}, {t n, 1/t}, e {t, 1/t} Sqrt[n] sono la stessa curva con diversi gradi d'ingrandimento.

Formule

• Parametrica: {-Sec[t], Sqrt[e^2-1] Tan[t]}
• Cartesiana: x^2 - y^2/(e^2-1) == 1

Vertici: {1,0}, {-1,0}. Fuochi: {e, 0}, {-e, 0}.

Proprietà

Costruzione per punti

Questo metodo è ricavato dalla formula parametrica dell'iperbole {a Sec[t], b Tan[t]}, dove a e b sono i raggi dei cerchi concentrici. Se a == b, allora la curve tracciata è una iperbole equilatera.

a:=1, b:=2 (28 k)
a:=b:=1 (21 k)
a:=2, b:=1 (21 k)

Proprietà ottiche

I raggi di luce provenienti da un fuoco dell'iperbole saranno riflessi nell'altro fuoco. Le figure mostrano la catacaustica e la  diacaustica di una iperbole con eccentricità 2.5.

Pedal

La pedale di una iperbole rispetto al foco è una circonferenza. La pedale di una iperbole equilatera rispetto al suo centro è la lemniscata of Bernoulli.

Inversione

L' inversione di una iperbole equilatera rispetto al suo centro è di nuovo la lemniscata di Bernoulli. Se l'inversione viene fatta rispetoo ad un vertice, la curva di inversione e una strofoide.

L' inversione di una iperbole rispetto al fuoco è una lumaca di Pascal.

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Last modified: 1998/07/13.
© copyright 1995-97 by Xah Lee. (xah@best.com)
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Traduzione a cura degli studenti della terza I itg Rondani-Parma